Expertul matematic Benoît Mandelbrot a fost responsabil pentru dezvoltarea, în 1975, a conceptului de fractal, care provine din cuvântul latin fractus (poate fi tradus ca "rupt" ). Termenul creat de francezi a fost acceptat în curând de comunitatea științifică și face deja parte din dicționarul Academiei Regale Spaniole (RAE) .

Un fractal este o figură, care poate fi spațială sau plană, formată din componente infinite . Caracteristica principală a acestuia este că aspectul său și modul în care acesta este distribuit statistic nu variază nici atunci când se modifică scala utilizată în observație.

Fractalii sunt, prin urmare, elemente clasificate ca semi-geometrice (datorită neregularității lor nu aparțin geometriei tradiționale) care au o structură esențială repetată la scări diferite.

Fractalul poate fi creat de om, chiar și cu intenții artistice, deși există și structuri naturale care sunt fractale (cum ar fi fulgii de zăpadă).

Potrivit lui Mandelbrot, fractalii pot prezenta 3 tipuri diferite de auto - similitudine, ceea ce înseamnă că părțile au aceeași structură ca setul total:

* auto-similitudine exactă, fractalul este identic la orice scară;
* cvasi-adecvare, cu schimbarea scării, copii ale setului sunt foarte asemănătoare, dar nu identice;
* Auto-similaritate statistică, fractalul trebuie să aibă dimensiuni statistice sau de număr care sunt conservate cu variația scalei.

Tehnicile fractale sunt utilizate, de exemplu, pentru a comprima date . Prin teorema colajului, este posibil să se găsească un IFS (sistem de funcții iterate), care include modificările pe care o figură completă le întâlnește în fiecare dintre fragmentele sale asemănătoare. Când informațiile sunt codificate în IFS, este posibilă procesarea imaginii.

Vorbim despre muzica fractală atunci când sunetul este generat și repetat în funcție de tiparele de comportament spontan care se găsesc adesea în natură. Trebuie menționat că există programe de calculator capabile să creeze compoziții de acest tip fără intervenția omului.

Setul lui Cantor este adesea citat în legătură cu fractali, deși nu este corect. Definiția sa, și care generează de obicei o astfel de confuzie, este după cum urmează: luați un segment și împărțiți-l în trei, apoi îndepărtați centrul și repetați acțiunea respectivă infinit cu restul.

Dimensiunea fractală

Geometria clasică nu este suficient de largă pentru a cuprinde conceptele necesare măsurării diferitelor forme fractale. Dacă luăm în considerare faptul că ele sunt elemente ale căror dimensiuni se modifică neîncetat, nu este ușor, de exemplu, să le calculam lungimea. Motivul este că, dacă încercați să măsurați o linie fractală folosind o unitate tradițională, vor exista întotdeauna componente care sunt atât de mici și subțiri încât nu pot fi delimitate cu precizie.

În curba lui Koch, planificată spre dreapta, se poate vedea că de la naștere o treime crește la fiecare pas; cu alte cuvinte, lungimea porțiunii care se află la început crește fără sfârșit, determinând că fiecare curbă este de 4/3 din cea precedentă.

Deoarece lungimea liniei fractale și cea a instrumentului de măsurare sau a unității de măsură alese sunt direct legate, este absurd să se folosească această noțiune. Acesta este motivul pentru care a fost creat conceptul de dimensiune fractală care permite, atunci când vorbim de linii fractale, să cunoaștem în ce mod sau în ce măsură ocupă o porțiune a planului .

În ceea ce privește geometria tradițională, un segment are o dimensiune, un cerc, două și o sferă, trei. Deoarece o linie fractală nu acoperă întreaga porțiune plană, ea ar trebui să aibă o dimensiune care să nu atingă două.